线性代数示例

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将 $- 8$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将 $- 8$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.4

计算 $| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((7 - λ) (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(7 - λ) (1 - λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 \cdot 1 + 7 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 \cdot 1 + 7 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 + 7 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ + λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

从 $- 7 λ$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

乘以 $- (- 8 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.3.1

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} - - 8) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} + 8) + 0$

解题步骤 5.4.2.2

将 $7$ 和 $8$ 相加。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

解题步骤 5.4.2.3

将 $- 8 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

合并 $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $0$ 和 $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$

解题步骤 5.5.1.2

将 $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$

解题步骤 5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ 。

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 8 λ) + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.2

将 $- 8 λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.3

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.4

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.4.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.6.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.8

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 15 λ$

解题步骤 5.5.4

将 $λ^{2}$ 和 $8 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 15 λ$

解题步骤 5.5.5

从 $- 8 λ$ 中减去 $15 λ$ 。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 23 λ + 15 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.6

移动 $15$ 。

$p (λ) = 9 λ^{2} - 23 λ - λ^{3} + 15$

解题步骤 5.5.7

移动 $- 23 λ$ 。

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 23 λ + 15$

解题步骤 5.5.8

将 $9 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

解题步骤 7.1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 9 \cdot 1 - 23 \cdot 1 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 9 - 23 \cdot 1 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.6

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$8 - 23 \cdot 1 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.7

将 $- 23$ 乘以 $1$ 。

$8 - 23 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.8

从 $8$ 中减去 $23$ 。

$- 15 + 15$

解题步骤 7.1.1.3.9

将 $- 15$ 和 $15$ 相加。

$0$

解题步骤 7.1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15}{λ - 1}$

解题步骤 7.1.1.5

用 $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ 除以 $λ - 1$ 。

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解题步骤 7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$23 λ$

$15$

解题步骤 7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$

解题步骤 7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- λ^{3} + λ^{2}$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$

解题步骤 7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $8 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$

解题步骤 7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$8 λ$

解题步骤 7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 λ^{2} - 8 λ$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$

解题步骤 7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$

解题步骤 7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$

解题步骤 7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 15 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$

解题步骤 7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							-	$15 λ$	+	$15$

解题步骤 7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 15 λ + 15$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							+	$15 λ$	-	$15$

解题步骤 7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							+	$15 λ$	-	$15$
										$0$

解题步骤 7.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- λ^{2} + 8 λ - 15$

解题步骤 7.1.1.6

将 $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ 书写为因数的集合。

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 λ - 15) = 0$

解题步骤 7.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.1.1

从 $8 λ$ 中分解出因数 $8$ 。

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 (λ) - 15) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.1.2

把 $8$ 重写为 $3$ 加 $5$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (3 + 5) λ - 15) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(λ - 1) (- λ^{2} + 3 λ + 5 λ - 15) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 3 λ) + 5 λ - 15) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(λ - 1) (λ (- λ + 3) - 5 (- λ + 3)) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- λ + 3$ 来因式分解多项式。

$(λ - 1) ((- λ + 3) (λ - 5)) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ - 1) (- λ + 3) (λ - 5) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ - 1 = 0$

$- λ + 3 = 0$

$λ - 5 = 0$

解题步骤 7.3

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 1 = 0$

解题步骤 7.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$λ = 1$

解题步骤 7.4

将 $- λ + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $- λ + 3$ 设为等于 $0$ 。

$- λ + 3 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $λ$ 的 $- λ + 3 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- λ = - 3$

解题步骤 7.4.2.2

将 $- λ = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.4.2.2.1

将 $- λ = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 7.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 7.4.2.2.2.2

用 $λ$ 除以 $1$ 。

$λ = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 7.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$λ = 3$

解题步骤 7.5

将 $λ - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $λ - 5$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 5 = 0$

解题步骤 7.5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$λ = 5$

解题步骤 7.6

最终解为使 $(λ - 1) (- λ + 3) (λ - 5) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 1, 3, 5$

线性代数 示例

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